前置知识

• 点值表示法
  • 可以用 $n+1$ 个点来表示一个 $n$ 次的多项式
  • 两个多项式的点值表示相乘就可以得出第三个多项式的点值表示（但是只有 $n+1$ 个点，而不是 $2*n+1$ 个，但是多找几个点不就行了）
    有一个问题：你还得把第三个多项式的点值表示用插值转换成系数表示

前置知识

• 关于单位根
  • 单位根是复数，满足相乘时模长相乘，辐角相加
  • 值为1的单位根是第0个
  • 如果 $n$ 是偶数 $\omega_n^{(k+n/2)} = \omega_n^k$

复数板子(STL也有，别用)

预处理单位根

Pi = acos(-1);

把单位根扔进多项式里

$F(x) = F[0] + F[1]x + F[2]x^2 + F[3]x^3 + \cdots + F[n-2]x^{n/2-1}$
保证 $n$ 是 $2$ 的整幂，不会出现两边不均匀的情况（上面是有 $n$ 项即 $n-1$ 次的多项式）
$FL(x) = F[0] + F[2]x + F[4]x^2 + \cdots + F[n-2]x^{n/2-1}$

$FR(x) = F[1] + F[3]x + F[5]x^2 + \cdots + F[n-1]x^{n/2-1}$

• 设 $k < n/2$，将 $\omega_n^k$ 代入上述式子（上半圆）
  $F(\omega_n^k) = FL((\omega_n^k)^2) + \omega_n^kFR((\omega_n^k)^2)$

  $F(\omega_n^k) = FL(\omega_n^{2k}) + \omega_n^kFR(\omega_n^{2k})$

  $F(\omega_n^k) = FL(\omega_{n/2}^{k}) + \omega_n^kFR(\omega_{n/2}^{k})$

• 设 $k < n/2$，将 $\omega_n^{k+n/2}$ 代入上述式子（下半圆）

  $F(\omega_n^{k+n/2}) = FL((\omega_n^{k+n/2})^2) + \omega_n^{k+n/2}FR((\omega_n^{k+n/2})^2)$

  $F(\omega_n^{k+n/2}) = FL(\omega_n^{2k+n}) + \omega_n^kFR(\omega_n^{2k+n})$

  $F(\omega_n^{k+n/2}) = FL(\omega_n^{2k}) + \omega_n^kFR(\omega_n^{2k})$

  $F(\omega_n^{k+n/2}) = FL(\omega_{n/2}^{k}) - \omega_n^kFR(\omega_{n/2}^{k})$

这样在已知 $FL$ 和 $FR$ 在 $\omega_{n/2}^{0},\omega_{n/2}^{1},\cdots,\omega_{n/2}^{n/2-1}$ 的值时就可以得出 $F(x)$ 在 $\omega_{n/2}^{0},\omega_{n/2}^{1},\cdots,\omega_{n/2}^{n/2-1}$ 和 $\omega_{n/2}^{n/2},\omega_{n/2}^{n/2+1},\cdots,\omega_{n/2}^{n-1}$ 处的点值表示了

然而

...
你并不知道这些值

又因为这个 $FL$ 和 $FR$ 也可以以同样的方式划分，所以就可以用分治搞定它

把系数表达转换为点值表达”的算法叫做DFT

那咋把点值表示转回系数呢？

用InverseDFT

IDFT

先说结论 : 把DFT中的 $\omega^1_n$ 换成 $\omega^{-1}_n$ ,做完之后除以 $n$ 即可。其中， $\omega^{-1}_n$ 是 $\omega^{1}_n$ 的共轭

证明：不会

code:

还有优化……

但是裸的递归版能A掉板子就离谱
记录

Reference:

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